淺談反應擴散系統

現今而言，想模擬自然界的外貌形態有許多方式，這在先前專欄〈隨機演算之美〉、〈自然噪聲與碎形〉與〈碎形與L-system〉等，曾談過一些，簡單來說，自然有其規律，在規律未被發掘之前被稱為隨機，在隨機中加入已知的規律，就有了模擬自然的可能性，而那份規律性，可以用數學來描述。

這就是我喜歡透過程式來模擬自然的原因之一，因為，程式碼的本質就是用來描述規律，而數學可以用來描述自然規律，所以，只要能找出相應的數學，就能使用程式碼來描述自然；或者更確切地說，程式碼的本質就是數學，用來表達自然規律，是再自然也不過的一件事。

那麼，生物方面的現象呢？開發者對神經網路等為出發點的人工智慧應該不陌生，本質上來說，神經網路就是試著將簡單的數學公式予以組合，構成非線性轉換，從而模仿生物複雜的學習行為。

圖靈紋

程式碼的本質就是數學，例如，艾倫圖靈（Alan Turing）早就提出了圖靈機來證明這件事，確切地說，圖靈是想探究「運算」這件事，本質上由哪些規律組成，而且，圖靈熱衷於尋找事物的規律性，甚至是胚胎發育的規律性，也不放過。

他的出發點在於：明明一開始就只是一個受精卵，為什麼後來會發展出各種骨骼、血管、器官呢？於是，他試著以數學來觀察、描述這個過程，成果發表於1952年的〈形態發生的化學基礎（The Chemical Basis of Morphogenesis）〉論文之中，並在計算的手稿上，畫出了與動物身上紋路非常相近的圖案，據說他還到處問人這是否很像乳牛身上的斑紋。

在圖靈的論文中，談到型態素（morphogen）、濃度（concentration）、反應（reaction），以及擴散（diffusion）等字眼，而這樣的理論後來被稱為型態發生的反應擴散（reaction-diffusion），因此，基於其理論而形成的圖樣，後來被稱為圖靈紋（Turing pattern）。

反應擴散系統

在論文中，圖靈提出了下列假設。系統中只有X、Y兩種我們感興趣的型態素（忽略其他的型態素），用Xr、Yr代表r細胞的濃度，反應是指X會與Y作用，因此，我們若以f(X,Y)來表示反應會增加X濃度的速度，用g(X,Y)表示反應會增加Y濃度的速度，而型態素會從高濃度往低濃度處擴散；若X擴散系數為μ，而Y擴散係數為v，細胞r的型態素濃度隨著時間的變化，將可用微分方程式來描述（請參考〈形態發生的化學基礎〉第47頁公式6-1）。

我們可以想像一下X、Y兩種型態素，就像草食動物與肉食動物。當草食動物遇上肉食動物就會被吃掉，而這些動物會因為其他因素而死亡，也會繁殖，這些是公式中f(Xr,Yr)、g(Xr,Yr)的部份，也就是反應的部分；因此，草食動物與肉食動物的數量增加，會往數量少的地方擴大棲息地，而公式中其他的部分，也就是擴散的部分。

草食動物與肉食動物間的反應與擴散，有可能發生肉食動物過度捕食的狀況，導致草食動物減少，然而也會因食物減少而使得肉食動物數量降低。因此，在一個生態系的長期演化後，同時存在著草食動物與肉食動物，那麼，兩者必然維持巧妙平衡。

如果將X、Y兩種型態素，看成決定細胞顏色的兩種激素，激素會以一定的速率補充（feed）與排除（kill）──激素會進行擴散，彼此碰上之後會反應，而根據不同的擴散係數與反應條件，最後可能達到一種平衡狀態，例如，變成其中一種顏色，或者兩個顏色形成了平衡。

自然界中許多生物身上的圖樣，就呈現出了各種平衡下的結果，像是熱帶魚身上花紋、花豹的斑點、乳牛的黑白斑塊等；實際上，不限於生物，乾裂的大地、風吹的沙丘，甚至是化學元素的晶體，都有可能出現反應擴散下的類似紋路。

Gray-Scott模型

在圖靈定出的公式中，擴散比較容易理解，基本上就是擴散系數乘上Laplacian運算，我們可以簡單理解為：擴散系數大就容易擴散，某位置濃度的變化速率大也容易擴散，那麼f(Xr,Yr)、g(Xr,Yr)呢？

化學家Gray與Scott曾在1983年發表的論文提出一個模型：物質A會以一定速率補充，A與兩個B反應會變成三個B，然後B會以一定速率變成C，而C成惰性，不再參與反應，相當於B被排除，而這個模型成了反應擴散系統最常見的代表。

圖靈的f(Xr,Yr)在Gray-Scott模型中，相當於-AB^2+f(1-A)，f是補充率，g(Xr,Yr)相當於AB^2-(k+f)B，k是排除率，我們可以在〈Reaction-Diffusion Tutorial〉看到Gray-Scott模型的簡單說明，以及不同的擴散係數、k與f數值下，所產生出來的各式圖靈紋，也有生成過程的動畫展示。

其中，比較有趣的部分是，類似Voronoi的圖靈紋。一般而言，Voronoi的基本概念是勢力均衡，然而，我們可以從反應擴散的狀況來看整個過程，例如，細胞一開始會努力擴散，直到與另一個細胞接觸，壓力成了抑制反應，直到均衡為止。

另外，在其中一個動畫的展示，則出現了類似細胞有絲分裂的行為，文中解釋了這個現象：兩個元素接觸的邊界，若有其中一個呈現突起，就會有越多反應的機會，從而得到越多擴散的機會，最後將聚在一起的元素看來會是被切分為二，就像是細胞分裂。

如果你有興趣玩玩各種圖靈紋，可以看看〈生物圖案是如何形成的？〉，作者實作了一個網頁，我們可以在其中選擇不同的f、k組合，或者使用Presets預設的f、k組合，並且隨意地點選畫布，看看各種圖靈紋產生的過程。

實作Gray-Scott模型

若想以程式碼實作Gray-Scott模型，我們可以準備兩個二維陣列，陣列中各元素代表各位置的A、B濃度，一開始A濃度都是1，B濃度都是0，然後在點選位置處設置其他的A、B濃度，接著，在每個離散時間中，針對兩個二維陣列，進行〈Reaction-Diffusion Tutorial〉的公式運算（選定適當的擴散濃度、f與k組合），然後將A或B繪製出來。

關於方才談到的程式碼實作，原始碼放在GitHub的〈grayscott〉，作者是透過Three.js實現視覺化，至於我，則是運用CadQuery進行3D模型，而模型與原始碼鏈結，可參考〈Reaction-Diffusion〉。相關的程式碼實作其實非常簡單，因為需要對二維陣列進行運算，若配合Numpy，在程式碼的撰寫上，只要短短幾行就能解決。

若需要詳細的程式碼說明，我們可以參考《A-Life 使用Python實作人工生命模型》，當中的第二章，一開始就介紹了反應擴充系統與Gray-Scott模型，其中就是使用Numpy實作。

該書介紹的自動機等其他系統，也值得一看。因為，單就程式的角度來看那些複雜結果，似乎需要複雜的程式邏輯才能完成；然而，從數學的角度來描述，後續若要透過程式碼來實現，就變得易常簡單，每次在試著以程式模擬自然的過程中發現到這些，總有種窺見了某種祕密的感覺，也正因此才令人樂此不疲！