自然噪聲與碎形

使用電腦模擬真實世界，是數學與程式最自然的結合，透過觀察自然現象，化為數學公式、實現為程式的過程，可獲取基礎元素的挖掘、組合、變化等能力，對於數學或程式面的思考，都有極大的助益。

弦波與噪聲

談到用電腦來模擬真實世界，其中的地形模擬，可能是最為人熟知的對象，畢竟就算不寫程式的人，在玩遊戲的過程中，也會接觸到地形產生器之類的東西，而我在先前專欄〈隨機演算之美〉談過的Perlin噪聲，其具有連續性與隨機性，就是用來模擬地形的方式之一。

有沒有可能自己設計個噪聲呢？連續性是噪聲的特色之一，談到連續性，可以想到弦波，若試著將正弦波與餘弦波組合為z(x,y)=sin(x)*cos(y)，使用程式畫出每個(x,y,z)點，就會有點地形起伏的感覺，若試著加上可調整的振幅a與頻率f，成為f(x,y,a,f)=sin(x*f)*cos(y*f)*a，就可以有不同的波狀地形。

不過，就算是調整了振幅與頻率，波狀地形的規律性太容易觀察出來，缺少了隨機地形的感覺，可以試著隨機產生頻率f，例如使用1到1.5間的隨機數作為f的值，地形就不再規律了，若需要的解析度不用很高，看來就有點像隨機地形。

然而，如果要求較高的解析度，就會發現連續性被破壞了。為了要保有連續性，我們可以選擇在一段弦波上，疊加較小振幅、較高頻率的小弦波，弦波疊加不會破壞連續性，而由於大小弦波間的振幅可能相加或相抵，就會產生隨機地形的感覺。

不過，如果在適當的振幅與頻率之下，或者是產生了極大範圍的地形，還是容易看出弦波的週期性，若想避免這類問題，我們可試著以相同策略持續疊加弦波，進而創造出繪圖範圍內難以察覺週期性的地形。

Perlin噪聲的出發點其實就有點類似弦波，選擇等距的點就像是選擇頻率，只不過每個點產生的梯度本身就是隨機，而振幅透過梯度來內插計算，以保有對連續性的需求，因為梯度本身就是隨機，基本上，就不用再透過疊加來取得隨機性。

碎形布朗運動

雖然Perlin噪聲本身就具有隨機性與連續性，不過，相較於實際地形來說，還是少了許多細節，也就是噪聲形成的地形過於光滑了，實際山岳取其中一小塊區域來看，還是會有巨岩、湖泊、碎石等細微的起伏。

既然Perlin噪聲的出發點類似弦波，而弦波可以疊加，那麼，來疊加Perlin噪聲如何？低頻、振幅高的噪聲是山，更高頻、更低振幅的噪聲陸續疊加其上，就可成為巨石、湖泊、碎石等，而疊加的層次越多，地形就越細緻。

就程式撰寫來說，可將每次噪聲疊加視為一次循環，每次循環以一定倍數增加頻率，並以一定比率降低振幅，隨著循環次數的增加，地形細節就越多，而且，若將某局部地形放大來看，會發現和整體看來很相似。

若將這個疊加的過程套用在一維正弦波，在多次疊加之後，取其中一段曲線，此時，我們會發現整體來說是正弦波，而從該曲線再取一小段放大來看，還是像正弦波，也就是說，這種疊加產生了自相似性，若真能無限次地疊加，就會符合碎形（fractal）的定義了。

疊加過程若套用在Perlin噪聲，由於每個點的梯度具有隨機性，這就像是布朗運動的粒子運動方式，沒有規則可循，然而最終得到的地形仍會呈現一定程度的自相似性，這就構成了布朗運動的擴展，也就是最後會得到符合碎形布朗運動（Fractional Brownian motion）定義的地形。

若想看看波的疊加，以及碎形布朗運動的效果，我們可以參考《The Book of Shaders》的〈Fractal Brownian Motion〉，試著改變程式範例中的頻率、振幅等參數，看看呈現出來的效果。

碎形噪聲與Worley噪聲

透過程式設計，我們對於疊加過程的處理，可以設計為通用函式，而參數有三個，每次的循環稱為一個八度（octaves），此名稱源於音樂中每個音程是一個八度；頻率的倍數稱為間隙（lacunarity），在幾何中，是用來度量圖案（特別是指碎形）如何填充空間；至於振幅的倍數，則稱為增益（gain）。

有的程式庫作者將這類函式，直接命名為碎形噪聲（fractal noise）；若將碎形噪聲這類函式的實現，拿來套用在弦波，在多次疊加後，雖然沒有隨機性而不符合碎形布朗運動，然而就小範圍來說，也是具有噪聲效果了。

擁有隨機性的噪聲不只有Perlin噪聲，在Perlin噪聲發表六年左右，Steven Worley基於Voronoi的原理，發表了Worley噪聲，最初版本是以像素至最近隨機點的距離作為噪聲值，若將噪聲值作為像素的灰階值，最後形成的圖案就是Voronoi圖，因此，又常稱為Voronoi噪聲、細胞噪聲等。

然而，Worley噪聲主要是作為創建材質效果，若每個像素都要對全部隨機點進行距離判斷，隨機點越多，計算量就越龐大。

而為了減少計算量，我們可以將空間分為網格，在各網格當中，隨機產生一個不超出網格的點，而像素只要從包含自身的鄰近九個網格，判斷最短距離就可以了。若不在意產生的Voronoi圖中，各細胞大小是相近的，這種作法的確可以大幅減輕計算的負擔。

Worley噪聲演算不一定要以最短距離為噪聲，距離取法可以是第二鄰近點的距離，或是第一減去第二的距離，也可以是曼哈頓（Manhattan）距離、柴比雪夫距離（Chebyshev distance）等，若要令Voronoi圖的細胞邊緣明顯，還可以取第一、第二鄰近細包的邊界距離。

不同的距離策略，會產生不同的圖案效果，實際上求得的最近細胞位置，也可以是噪聲的一種，此資訊經常用於為每個細胞著色。若有興趣操作Worley噪聲的效果，我們可以參考《The Book of Shaders》的〈Cellular Noise〉。

從基礎元素到變化

在研究噪聲、碎形，或像是碎形噪聲之類的函式實現過程中，我們可以發現不少共通的基礎元素，像是像素處理、疊加性、網格分割技巧等，這類技巧在其他場合也可以變化應用。

例如，關於網格分割的技巧，也適用於使用凸多邊型交集求Voronoi圖的場合，然而必須擴充為求鄰近21個網格，雖說如此，相對於求全部隨機點的交集來說，這已經大幅減輕了計算的負擔！

《The Book of Shaders》屬於著色器（Shader）處理的介紹，若這離你太遠，可以試著探討衍生藝術（Generative art）。事實上，在程式設計領域，原本為了以視覺化方式學習程式語言而生的Processing，就有不少的衍生藝術資源，像是Perlin噪聲之類的函式，Processing本身就內建。

Processing社群本身也有各式各樣衍生藝術的程式作品，如果需要系統性地（從Processing）學習衍生藝術，我們可以參考《The Nature of Code》，當中除了談到噪聲、碎形，還包含了粒子系統、物理程式庫、神經網路等的探討，是個相當不錯的資源。