遊戲中的數值積分

在遊戲中，我們進行物理模擬時，如果採用不同的積分法，對於模擬結果會有重大影響。若從數學定義上，難以理解各種數值積分的差異，不妨試著從實際的物理運動來理解，會是不錯的切入方向。

直覺的積分法

遊戲進行物理模擬時，若物體有速度，如何讓物體看來像是在移動？

電腦是逐個影格（Frame）進行繪圖，影格間的時間差與速度的乘積就是位移，加上物體目前位置就是新位置，若影格間的時間差極短，在每個影格不斷地繪製新位置、連續播放影格，就會讓物體看來像是在移動。曾用繪圖API製作簡單動畫的開發者，應該都知道這種方式，那麼這跟積分有何關係？

先來談微分吧！若物體在某時間點的位置以方程式表示，方程式的微分就是導數，代表著某時間點的速度，也就是極小時間內位移的變化量，就這點來看，假設影格間的時間差極短，求得當前影格時物體的速度，就是微分的概念。

反過來說，如果有個速度方程式，其積分函式在某時間點的值，就是將該時間點前每個極短時間的位移量累積起來，繪圖時影格間的極短時間差與速度的乘積是位移，每次影格計算時，持續累計在物體的位置上，就是積分的概念。簡單來說，如果我們曾實作連續播放影格、讓物體看來像是在移動，不知不覺就用到了微積分的概念了。

「只不過是繪製物體移動，扯什麼微積分？」若速度是線性的，過程中不會變化，確實不用扯什麼微分、積分，因為，在每一次的迭代時，用影格時間差與速度來計算位移是直覺做法。問題就在於，這種直覺做法，在速度是非線性時會有問題，像是物體在運動過程中，會受到外力影響而改變速度的方向時，這種方式依舊適用嗎？

例如，行星會持續受到恆星向心力影響，行星的速度（向量）會不斷地改變（方向），這才有了繞著恆星的軌道運動，若想模擬這種運動，在影格間時間差是t，每個影格的向心力是確定可求的情況下，目前影格的行星位置是X，速度向量是V，接下來的行星位置就會是Xn=X+V*t，若目前依向心力得到加速度向量為A，接下來的速度就會是Vn=V+A*t，也就是程式實作時可採用：

Xn=X+V*t
Vn=V+A*t

你會採用這樣直覺的做法嗎？如果答案是YES！很可惜地，你的行星最初不會繞著恆星轉，而是逐漸遠離恆星，因為在某個影格時，方才的做法表示行星以切線方向移動後，這時離恆星比較遠了，基於向心力計算得到加速度就會小一些，用來取得下一次速度的話，朝恆星的速度分量相對會小一些，不斷重複的結果就是：若遠離恆星一段距離後，行星不再受到向心力影響，最後奔向了宇宙的盡頭。

半隱式歐拉積分

現實中的運動是連續的，電腦中的時間是離散的，在每個影格進行的資料計算，其實，就是忽略影格與影格間的連續性，直接「預測」物體下個影格時的狀態。若將每個影格間物體的位置連起來，實際上，會是條折線，只不過，眾多短小的折線，在人眼裡看似曲線罷了。

方才的做法，通常被稱為顯式歐拉積分（Explicit Euler Integration），然而並不適用於非線性的物體運動，想像一下，如果事先不知道這是顆行星，想透過歐拉積分來模擬出路線，模擬結果會讓你以為，這不過是顆湊巧略過恒星旁的巨大隕石。

如果修改一下方才的計算順序，我們先計算出Vn=V+A*t，然後用Vn來計算Xn=X+Vn*t，行星就會在過一陣子之後，穩定繞著恆星轉了。想像一下，行星速度向量就是切線方向，用A來計算Vn，就是將目前速度方向往恆星拉，這表示計算出的Xn會往恒星靠一些，重複地迭代計算後，最後慢慢地穩定為軌道路線。

而上述這樣的做法，一般稱為半隱式歐拉積分（Semi-Implicit Euler Integration），在程式實作上，跟顯式歐拉積分一樣，只需目前物體的位置、速度與加速度，接著，就可以求得物體下一個影格時的狀態，也就是只需簡單的迭代，實作時只需要：

Vn=V+A*t
Xn=X+Vn*t

有些物理引擎採用了半隱式歐拉積分，既然有半隱式，那麼，有沒有隱式呢？有的！它會用下個影格的狀態，例如，以下個影格的加速度An來求得Vn=V+An*t，然後，用Vn來求Xn=X+Vn*t，也就是使用了未來的資訊來調整預測，這能擁有更好的穩定度，然而，因為必須使用到未來的狀態，實作上就複雜許多。

韋爾萊積分

如果只能測得物體的位置X，以及作用於其上的加速度A（從作用力計算而得），該如何預測物體接下來的位置呢？韋爾萊積分（Verlet Integration）可以用來解決這個問題，出發點是將半隱式歐拉積分的Xn=X+Vn*t，使用Vn=V+A*t代入，得到Xn=X+V*t+A*t*t。

問題在於無法得到速度啊？這時，可採用前一次物體位置Xp與目前位置來權充計算一下，也就是V=(X-Xp)/t，得到Xn=X+(X-Xp)+A*t*t，這是一個不涉及速度的式子，只要能記錄先前狀態Xp，在程式實作上也就只需簡單的迭代：

Xn=X+(X-Xp)+A*t*t

有些物理引擎採用了韋爾萊積分，但這並不是為了實作物理引擎而發明的。在1960年，法國物理學家Loup Verlet就將這個積分方式，應用於分子動力學計算，也是其名稱的由來。實際上，在更早、1907年，Carl Størmer就曾用來求磁場中運動粒子的軌跡，因此，也稱為Størmer方法。

因為其計算的特性，對於粒子系統方面的模擬，採用韋爾萊積分的物理引擎就特別適合，擁有與半隱式歐拉積分相同的穩定性，然而全域誤差比較小，想知道誤差部份的細節，我們可以參考〈Are S.I. Euler and Verlet the same thing?〉。

不過顯然地，韋爾萊積分的速度落後於目前位置，也就是說，若真要求物體的速度，是用V=(X-Xp)/t來求得，實際上，求得的會是上一個狀態的速度，也就是上一狀態位置Xp，在速度V下經過t時間，才來到目前狀態的位置X。

更多的積分法

半隱式歐拉與韋爾萊是遊戲或物理引擎中常採用的積分法，另外，還有中點法（Midpoint Method），它會先以目前速度預測半個影格後的位置，也就是X+V*t/2，求得該時間與位的速度Vm，接著用X+Vm*t來預測物體下一個位置。

龍格-庫塔（Runge-Kutta）積分的出發點像是中點法，只是分為更多階段，以求得更高的精確度。若對這些積分方式有興趣，可在〈Math for Game Developers〉系列影片，找到講解。

實際上，這些積分法，並不只用在遊戲或物理模擬之中。因為，這些方法的本質，是在基於可確定的資訊預測（或說是模擬）後續的狀態，因此，若我們從數學的定義上難以理解這類積分法，試著改從實際的物理運動來理解，的確會是個不錯的切入方向。