從歐拉角到四元數旋轉

不少程式設計入門的教學中，常使用電腦繪圖、自走車、機器人等作為學習的回饋機制，其中，簡單幾何數學佔了重要的角色，而座標旋轉為常見處理。

有機會的話，試著導證一下旋轉公式或矩陣，因為，這就像是研讀原始碼一樣的有趣，也具有實用的價值。

繞XYZ軸旋轉

如果有個座標(x,y)，繞原點逆時針旋轉θ度後的新座標為(x',y')，旋轉公式會是x'=x*cos(θ)-y*sin(θ)，y'=x*sin(θ)+y*cos(θ)，這只要用基本的三角函式及聯立方程式，就可以導證出來。若以矩陣來表示轉換，會比較簡明，使用一維線性陣列來撰寫的話，列為主的寫法會是[cos(θ), -sin(θ), sin(θ), cos(θ)]。

上述的表示法是基於笛卡兒平面，兩個軸都代表著實數，實際上，旋轉問題也可以用複數來處理，將a+bj看成是複數平面上的點，平面橫軸為實數軸，直軸為虛數軸，複數z1若為cosθ+isinθ，θ為z1與實數軸的夾角，將z1與任意複數z2相乘，由於複數運算上的一些特性，所得到的複數，相當於將z2繞著複數平面原點逆時針轉動θ度（https://bit.ly/2V8hZcX）。

關於二維平面旋轉，我們可以看成，是三維空間中繞著z軸旋轉xy平面上的座標。

基於二維空間旋轉公式的導證方式，可以很快地得出繞x、y軸旋轉的公式，也可以分別將三個轉換公式，以轉換矩陣的方式來表示（https://bit.ly/2XW9yOK），而轉換矩陣基本上有三個參數，也就是分別繞三個軸旋轉的角度(α,β,γ)，稱為三個歐拉角（Euler angles）。

既然可以將笛卡兒平面的旋轉擴充到三維，那麼，我們有辦法將複數平面的作法，也跟著擴充到三維嗎？

例如，愛爾蘭數學家Hamilton曾將複數擴充為四元數（Quaternion），並運用四元數運算的特性，導出了繞任意指定軸旋轉的四元數旋轉矩陣，當然，也就因此可以處理繞XYZ軸旋轉。

就結論而言，若想繞著指定的軸來旋轉頂點，軸的部份使用單位向量(x,y,z)來表示，旋轉角度為θ的話，四元數q=w+ai+bj+ck的關係若為s=sin(θ/2)、w=cos(θ/2)、a=s*x、b=s*y、c=s*z，就可以用這四個數來得到旋轉矩陣（https://bit.ly/2IQVt1E），網路上可以找到許多關於四元數的導證說明。

然而，大家最常問的部分仍是：四元數到底是什麼？可否形象化的方式來表示四元數？

想知道答案的話，我們可以親自導證一次四元數旋轉矩陣。

Rodrigues旋轉公式

關於三維旋轉的問題，其實，也可以使用軸、角兩個量來表示。

舉例來說，軸可以使用單位向量(x,y,z)來表示，角用θ表示，歐拉角表示可以使用軸角來表示；軸會是笛卡兒座標的X、Y或Z軸，例如，繞X軸轉動時，X軸向量可表示為(1,0,0)，至於四元數旋轉矩陣，基本上，也是透過給定軸、角兩個量來得到。

然而要做軸角旋轉，不一定找出對應的四元數來計算旋轉矩陣，透過Rodrigues旋轉公式也可以。若u為指定軸之單位向量，v為打算轉動的座標形成之向量，那麼，Rodrigues旋轉公式會是cos(θ)v+(1-cos(θ))(u‧v)u+sin(θ)(uxv)。

若對四元數或其旋轉矩陣的導證有興趣，認識Rodrigues旋轉公式的導證，會有所幫助，相對來說，導證過程也比較簡單（不用去結合四元數的運算特性）。

例如，Rodrigues旋轉導證的第一步，是將v分解為兩個向量，一個向量是v投影在旋轉構成的平面上，另一個向量是投影在u上，兩個向量基於u旋轉後得到的向量相加，就是想要的結果。

對於投影在u上的向量，因為跟u平行，旋轉後還是相同，既然如此，就只要處理v投影在旋轉平面上的向量，v就是旋轉平面的橫軸，u與旋轉平面正交，那麼，旋轉平面的直軸，就可以用外積uxv得到，而一旦有了平面的橫軸與直軸，問題就被簡化為二維平面旋轉。

在整個公式化簡的過程中，會運用到u是單位向量，大小為1的特性，因此，只要細心計算，就可以得到公式（https://bit.ly/2LdKIZz）。

不過，上述的這個公式看起來複雜，有個轉換矩陣（https://bit.ly/2WfTpmT）與要轉動的向量結合後，等價於此公式，然而，相對於四元數旋轉矩陣來說，仍是複雜許多，因而比較少見到這個公式的運用或實作。

四元數與旋轉

雖然Rodrigues旋轉公式比較少用，然而導證過程與四元數旋轉矩陣的導證之間，有著密切關係，只不過四元數既然是四元數，表示得先掌握其運算基本特性。

最著名的例子，就是Hamilton刻在石頭上的式子i^2=j^2=k^2=ijk=-1，如果以四元數的運算特性簡單來說，就是在擴充複數的同時，也不能違反複數的運算性質。而這就跟複數不能違反實數的運算性質，負數、零在定義時不能違反自然數，都是一樣的道理。

有些幾何運算會產生複雜的過程或結果，像是一大堆三角函式轉換之類，這時，可以試著轉換為複數來運算。

由於複數本身包含了角度與長度資訊，而複數運算的特性，可以避開複雜運算過程。要了解這種換個系統運算的過程，若作個簡單類比，就像三維中的點，可以用直角座標來描述外，也可以用極座標來描述；有的問題用直角座標，就能簡單解決；有的問題，用極座標會比較適合。

而在四元數旋轉矩陣的導證過程，就像是結合了Rodrigues旋轉公式導證，以及四元數運算特性來得到結果的過程（https://bit.ly/2VB4cuW），一旦能夠看懂導證過程，也就解決了形象化四元數的問題，因為四元數描述了四維空間中的一個點，不過，四維空間的圖雖難以描繪，但是，投影在三維空間中的圖還是可以繪製，然而，點投影的結果也只是個點。

不過，若四元數q=w+ai+bj+ck的w、a、b、c有先前談到的關係時，θ變動時，每個點在四維空間中的軌跡，投影在三維世界的中的話，會是個複數平面上旋轉角度θ的圓弧，而圓弧θ/2處會是實數軸通過的位置。就軸角旋轉來說，真正關心的，並不是四元數在四維空間中的軌跡，而是三維空間中的投影，因此，若能知道三維世界中的投影是什麼，也就足夠了。

導證公式與閱讀原始碼

設法看懂公式的導證過程，某些程度就像是閱讀原始碼，因為，公式就像是函式簽署，導證的過程就是實作的內容，而閱讀原始碼的收獲，不僅認識了函式運作的原理、解題相關的知識與技巧，同時也學會從其他角度解題的思考方式，導證公式的過程也是如此。

無論是面對數學或程式碼，解題時具有不同思考方式是重要的，實際上在導證這些旋轉的過程中，意外地拼湊出一個解決方案，這也解掉了我一年來懸而未解的ISSUE（https://bit.ly/2IPGe98）。當我看到程式運算結果終於正確呈現的瞬間，得到一整個滿滿的欣喜與成就感！