從40個判斷式到1個算式

若要算出1加到100總和，該怎麼做呢？學過程式的人，八成會寫個for迴圈跑1到100，重複進行加總來解決問題；現在函數式比較有人討論了，那來個遞迴好了，將目前數字與後續數字總和做相加，看來似乎比較高級；至於經常以數學思維來處理問題的人，則會告訴你1加100後乘以100再除以2。

還有其他的思考方式嗎？

要用到40個判斷式？

不久前在玩機器人積木，設計了個類似吉他的東西，打算用左手三個觸碰感應器區分八個狀態，在每個狀態下，右手可按下主機上五個按鈕各發出一個音階，也就是說，想設計出一個可以發出40個音階的樂器，其實可以再多一個觸碰感應器，以發出更多音階，不過，我先停下來思考一個問題，按照這樣設計，也表示觸碰感應器加上主機按鈕，總共會有40個可能的組合方式，該如何判斷狀態？

最基本的方式，就是建立40個if分支判斷，這方法行不通，光是建立40個分支這個過程就夠嚇人了，更何況，如果打算再多個觸碰感應器，就得再多出40個分支，才能讓樂器變成可以發出80個音階，稍微瞭解程式設計的開發者，都知道這種寫法完全就是個反模式，一定還有其他方式！

建立一個40個元素的陣列如何（積木程式中，並未提供Map）？陣列值為01、02、03、04、05，表示未按任何觸控感應器下，各按下主機其中之一按鈕的情況，如果按下一個觸控感應器，就用11、12、13、14、15來代表主機各按鈕被按下，這麼一來，三個觸碰感應器可當成2進位數字，並轉換出0到7的10進位值，主機按鈕算出1到5的值，如此可跑迴圈，對應到陣列中某個元素值，如果每個元素值之後接上頻率，例如01261626，去掉前兩位再除以1000，那就是261.626，也就是Do音階頻率。

這表示，我可以將40個判斷式，改用40個元素的陣列取代，如果要再多個觸碰感應器，那就是在陣列中追加40個元素，每個元素值之後同樣附上各音階頻率，追加陣列元素值是比追加if分支判斷來得簡單一些，只是得查出各音階頻率，仔細地附加到每個元素值之後，這滿麻煩的。

不過，我還是打開了瀏覽器，鍵入了「音階頻率」開始搜尋，在維基百科「音高」條目上找出「音高頻率表」，過程中，卻順手點進去看了一下「十二平均律」條目，不久，40個元素的陣列就被拋棄了，只留下一個算式。

十二平均律的威力

會被十二平均律條目吸引，在於最近接觸樂器，印象中看過幾次這個名稱，簡單來說，就是將一個八度（像是Do、Re、Mi到下個高音Do）平均分成十二等份，每等分為一個半音，至於十二等分的畫分方式不是等差級數，而是等比級數，在十二平均律中，每個音頻率為前一個音的2的12次方根，約為1.059463，例如，如果Do音為261.626，那麼下個半音就是261.626乘上1.059463，也就是277.183（升Do），再下個半音就是261.626*1.059463*1.059463=293.665，也就是Re。

對這個樂器小程式來說，單只是知道這樣就足夠了，之前設計的陣列元素01、02、03、04、05、11、12……到71、72、73、74、75，各可以對應到一個頻率，實際上，陣列元素換算過來10進位就是1到40，一個觸碰感應器輸出值是0與1，主機按鈕輸出值是1到5，如果三個觸碰感應器輸出是a、b、c，主機按鈕輸出是d，換算公式就是(a+b*2+c*4)*5+d，若結果為n，且以頻率261.626開始，之後各個音的頻率就是1.059463的n次方，再乘上261.626。

這麼一來，如果要再增加一個觸碰感應器，若輸出值為d，那換算為10進位的公式，也只要調整為(a+b*2+c*4+d*8)*5+d，也就是可以1到80，不用使用龐大if分支判斷，也不用辛苦地建立陣列將狀態對照至頻率，只因為瞭解了十二平均律，實際上，真正使得設計方向得以朝簡化、有彈性的方向改變的，並不是多高深的程式設計觀念，單單只是音樂領域中的基礎知識。

不是所有東西都是釘子

有句西方諺語說：「當你手上只有錘子時，所有東西都是釘子。」這句話若拿來套用在程式開發領域，通常是指手中不要只有一種工具，像是語言、程式庫或框架等，如此面對不同問題，才能使用最適合工具加以解決。實際上，這句話可以擴大來看，擅長某領域知識的人，面對什麼事情，都會用他擅長的邏輯來處理事情，這本是好事，然而有時也會形成一種盲點，就像擅長程式設計思維的人，解決問題有時也很容易就往程式邏輯中鑽，就像一開始談到的1加到100問題。

1加100後乘以100再除以2的解法，其實就是等差級數公式，首項與末項的和乘以項數除以2，據說數學家高斯在小時候就發現這個公式，他的老師讓學生們做從1加到100的習題，大多數小孩應該都是從頭開始加，而高斯觀察到1+100=101、2+99=101……，因而能很快說出5050的正確答案。實際上，就觀察力這點，對數學家與程式人都是滿重要的能力，遇到問題時換個方向觀察規律，往往是從問題中理出頭緒的重要開始，壓縮、模式辨識等重大演算法，往往就是如此產生。

然而，除了換個方向先行觀察之外，如果處理特定領域問題，更重要的，往往不是只用程式邏輯蠻幹，而是跳出既有程式領域，使用問題領域中的思維來尋求解答，這就是許多程式人所謂領域知識的重要性，1加到100的總和，以迴圈來解複雜度會是O(n)，以等差級數公式來解決則會是O(1)，這邊談到的簡單樂器程式，使用狀態的思維會是40個分支判斷，從十二平均律來解，卻只要一個算式！

不想讓所有東西看來都像是釘子，不單只是在擁有技術或工具上的問題，也在於平常有無在生活各方面、各領域上多所涉獵。

就如同上述樂器程式的問題，某些程度上，是因為我近來涉獵樂器，才得以漂亮地解決，John MacCormick在《改變世界的九大演算法》結論中就談到：「所有偉大的觀念，不需要會寫程式等電腦科學的知識就能解釋」，另一方面「電腦科學的領域不僅僅是寫程式而已」。

一定還有其他方式！

從數學領域往其他領域看，也不乏這類例子，像是求圓周率並不是只能使用圓周長與半徑，也可透過亂數取樣模擬來解決，看看產生的數各有多少在圓內及圓外，因此導出圓周率公式，更早前還有1777年法國數學家Buffon的投針試驗（Buffon's needle），他在白紙上畫了等距平行線，並對白紙投擲長度為平行線間距一半、重量相等的針，在2212次投擲中，針與平行線相交704次，2212/704約為3.142，也就是圓周率近似值。

亂數取樣模擬求圓周率這類方式，稱為蒙地卡羅法（Monte Carlo method），Monte Carlo為摩洛哥首都，也就是知名賭城，由此聯想此方式帶有賭博意味，現今則可使用電腦來產生亂數，將蒙地卡羅法應用在數值方法之中，像是計算不規則圖形的面積等。

已經有太多人呼籲過領域知識的重要性，只是每個人時間畢竟有限，不可能各個領域都能有所涉獵，更何況每個領域的專精，沒有個5年、10年，也不足以成為專家。

就我這次的問題來說，也只是剛好問題夠簡單，能夠使用十二平均律，簡單地解決罷了。成為領域專家是個很迷人的目標，不過這之前，重點在於面對問題時，是否總能抱持著「一定還有其他方式」的想法，像是除了1加到100這類的問題之外，你知道費式數列也可以用數學公式來解嗎？